Делимость

Текущая версия (не проверялась)

Делимость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связаное с операцией деления.

Определение

Если для некоторого целого числа a и целого числа существует такое целое число q, что bq = a, то говорят, что число a делится нацело на b. При этом число b называется делителем числа a, число a называется кратным числа b, а число q называется частным от деления a на b.

Связанные определения

• Натуральное число, имеющее ровно два натуральных делителя (единицу и само себя), называется простым. Все остальные числа (кроме единицы) называются составными.
• Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. У простых чисел существует ровно один собственный делитель — единица.
• Вне зависимости от делимости целого числа a на целое число , число a всегда можно разделить на b с остатком, т.е. представить в виде: a = bq + r, где .

В этом соотношении число q, как и прежде, называется частным, а число r — остатком (от деления a на b). Число a делится нацело на b тогда и только тогда, когда остаток от деления a на b равен нулю.

Свойства

• Любое натуральное число является делителем нуля;
• Единица является делителем любого целого числа;
• Любое натуральное число является делителем самого себя.

Число делителей

Число положительных делителей натурального числа n обычно обозначается τ(n), является мультипликативной функцией, для неё верна асимптотическая формула Дирихле:

Обобщения

Понятие делимости обобщается на произвольные кольца, например кольцо многочленов.